EXPRESSÃO NUMÉRICA - E38P65d (6ª série)

d) -(2,5 - 1,35 + 4,65) - [(-4+1,25) - (10 - 4,55)]
-2,5 + 1,35 - 4,65 - [ -4 + 1,25 - 10 + 4,55] ==> Foi utilizada a idéia de "oposto" (ver P58 do livro)
-2,5 + 1,35 - 4,65 + 4 - 1,25 + 10 - 4,55
15,35 - 12,95
2,4
Qualquer dúvida, consulte o livro e o seu caderno. Analise todos os exercícios que fizemos em sala. Deixe seu comentário... E lembre-se: conhecimento é fruto de trabalho e não de milagre!!!
Beijão do Vavá...

E11P83)
x - z = 4
2x - 3z = 6

Após análise dos coeficientes das incógnitas, decidi que iria isolar a incógnita x na 1ª equação. Por que? Simples! Porque seu coeficiente é 1!!!

x - z = 4 Para isolar a incógnita x irei utilizar o Princípio Aditivo das Igualdades (PA), acrescentando "+z" em ambos os lados da igualdade:

x - z + z = 4 + z Cancelando os termos opostos, temos:

x = 4 + z A incógnita x está isolada!!! Vou chamar esta equação de Dorotéia...

Agora, irei trabalhar com a 2ª equação. Nela, irei substituir o valor de x por 4 + z.

2x - 3z = 6

2.(4 + z) - 3z = 6 Agora vou utilizar a Propriedade Distributiva para eliminar os parênteses.Observe que agora a equação ficou com apenas uma incógnita (z).

8 + 2z - 3z = 6 Vou agrupar os termos semelhantes.

8 - z = 6 Para isolar a incógnita z, irei subtrair "8" de cada um dos lados da igualdade (PA).

8 - z - 8 = 6 - 8 Cancelando os termos opostos,

-z = - 2 Vou multiplicar ambos os lados da igualdade por (-1) para que o sinal do "z" fique positivo. Lembre-se que, multiplicar por (-1) significa modificar todos os sinais da igualdade.

z = 2

Agora vou descobrir o valor de x utilizando a equação Dorotéia... No lugar da incógnita z irei colocar seu valor: 2!!!

x = 4 + z

x = 4 + 2

x = 6

A solução do sistema é o par ordenado (6;2).

5t - 4g = 5

t + g = 5

Vou isolar a incógnita "g" na 2ª equação. Você já deve saber o motivo de minha escolha... Vou indicar o que estou fazendo de uma forma mais simples:

t + g = 6 (-t) PA

g = 5 - t Esta é a equação Dorotéia...

Na 1ª equação irei substituir a incógnita g por 5 - t.

5t - 4g = 5

5t - 4.(5 - t) = 5 Propriedade Distributiva (PD). Atenção para a regra de sinais na multiplicação.

5t - 20 + 4t = 5 Agrupar os termos semelhantes.

9t - 20 = 5 (+20) PA

9t = 25 (:9) PM (princípio multiplicativo)

t = 25/9 (isto é uma fração: vinte cinco nonos). Não transformei em número decimal porque encontraria uma dízima periódica.

Usando a equação Dorotéia... No lugar de t irei colocar 25/9...

g = 5 - t

g = 5 - 25/9 Para deixar os denominadores iguais, irei multiplicar a fração 5/1 por 9/9 (isso equivale a multiplicar o numerador por 9 e o denominador por 9 também...):

g = 45/9 - 25/9 Como os denominadores ficaram iguais, posso subtrair...

g = 20/9

A solução do sistema é o par ordenado (25/9;20/9)

a = 4 + b Esta é a equação Dorotéia...

(1/2)a - 2b = 13/2

Observe que uma das incógnitas já está isolada (incógnita a na 1ª equação). Na 2ª equação aparecem frações. Antes de fazer qualquer coisa, irei eliminar estas frações. Como? Usando o Princípio Multiplicativo das Igualdades. Vou multiplicar os dois lados da igualdade por 2 (para cancelar a divisão por 2...)

2.(1/2)a - 2.2b = 2.(13/2)

A 2ª equação ficou assim:

a - 4b = 13 Agora, no lugar do a irei colocar 4 + b:

4 + b - 4b = 13 Agrupando os termos semelhantes...

4 - 3b = 13 (-4)

-3b = 9 : ( -3) Atenção às regras de sinais....

b = - 3

Agora, na equação Dorotéia, irei substituir o b por -3:

a = 4 + b

a = 4 + (-3)

a = 1

A solução do sistema é o par ordenado (1;-3)...

Ufaaaa....Acabou...

Abração do Vavá...

É SOLUÇÃO??? (sistemas de equações)

Questão - Verifique se o par ordenado (-2;3) é ou não solução do seguinte sistema de equações:
2m + 3n = 5
5m - 4n = -22

Para ser solução do sistema, o par ordenado deve tornar verdadeiras as duas igualdades.
1ª equação) 2m + 3n = 5
2.(-2) + 3.3 = 5
-4 + 9 = 5
5 = 5 OK
2ª equação) 5m - 4n = -22
5.(-2) - 4.(3) = -22
-10 - 12 = -22
-22 = -22 OK

Resposta: O par ordenado (-2;3) é solução do sistema apresentado.
Abraço! Vavá

SISTEMAS "FEIOSOS"...

O sistema abaixo está fora da forma padrão (é "feioso...". Vamos estudar os passos necessários para deixá-lo "bonito" (na forma padrão...):

2.(x+1) - 3.(y-x) + 9 = 3x - 5y (1ª equação)

5x - 2.(x + 3y -5) + 12 = 4.(y - x + 3) + 2 (2ª equação)

Vamos ajeitar a 1ª equação: 2.(x+1) - 3.(y-x) + 9 = 3x - 5y

1º passo) Aplicar a propriedade distributiva e eliminar os parênteses:

2.(x+1) - 3.(y-x) + 9 = 3x - 5y

2.x + 2 - 3.y + 3x + 9 = 3x - 5y

2º passo) Agrupar os termos semelhantes:

5x - 3y +11 = 3x - 5y

3º passo) Usando o Princípio Aditivo das Igualdades, vamos deixar as incógnitas de um lado e o termo independente do outro. Iremos indicar explicitamene o que foi feito:

5x - 3y +11 -3x +5y - 11= 3x - 5y -3x +5y - 11

4º passo) Agrupar os termos semelhantes:

2x + 2y = -11 (observe que esta equação ficou "bonitinha..."

Vamos ajeitar a 2ª equação: 5x - 2.(x + 3y -5) + 12 = 4.(y - x + 3) + 2

1º passo) Aplicar a propriedade distributiva e eliminar os parênteses:

5x - 2.(x + 3y -5) + 12 = 4.(y - x + 3) + 2

5x - 2x - 6y + 10 + 12 = 4y - 4x + 12 + 2

2º passo) Agrupar os termos semelhantes:

3x - 6y + 22 = 4y - 4x + 14

3º passo) Usando o Princípio Aditivo das Igualdades, vamos deixar as incógnitas de um lado e o termo independente do outro. Iremos indicar explicitamene o que foi feito:

3x - 6y + 22 + 4x - 4y - 22 = 4y - 4x + 14 + 4x - 4y - 22

4º passo) Agrupar os termos semelhantes:

7x - 10y = -8 (observe que esta equação ficou "bonitinha")

Nosso sistema inicial, que era "feioso" ficou assim:

2x + 2y = -11

7x - 10y = -8

Espero que esta explicação ajude nos estudos...

Abraço do Vavá

SISTEMAS DE EQUAÇÕES - 7ª SÉRIE

SITUAÇÃO-PROBLEMA

Letícia comprou duas canetas e três lápis que estavam em promoção na papelaria na dona Helena, pagando R$ 5,00 por tudo. Ao contar a novidade para a Dora, esta foi correndo à papelaria e comprou quatro canetas e cinco lápis, gastando R$ 9,50. Quando a Victória ficou sabendo das novas aquisições das amigas e da super-promoção, aproveitou para comprar uma caneta e dois lápis. Quanto ela gastou?

Para responder a esta pergunta, é necessário que saibamos quanto custa cada lápis e quanto custa cada caneta. Podemos resolver esta situação de algumas formas:

a) ligar para a papelaria e perguntar o preço

b) pegar a nota fiscal de compra e verificar o preço de cada produto

c) fazer tentativas para tentar descobrir o preço de cada produto

d) utilizar nossos conhecimentos matemáticos para descobrir o preço de cada produto (se é que isto é possível...)

Well, aqui vamos tentar responder à pergunta feita utilizando a ferramenta Matemática...

No primeiro momento, vamos tentar representar matematicamente a situação apresentada. Vamos combinar que o preço de cada caneta será representado pela letra c e o preço de cada lápis pela letra l. Podemos escrever a compra da Letícia desta forma: 2.c + 3.l = 5,00. Note que, nesta equação, temos duas incógnitas: c e l. Já a compra efetuada pela Dora pode ser representada, em linguagem matemática, da seguinte forma: 4.c + 5.l = 9,50. Esta equação possui as mesmas incógnitas c e l. Duas equações diferentes, com as mesmas incógnitas....Hummmmmmmm! Isso pode virar um SISTEMA DE EQUAÇÕES....Viva!!!!

2.c + 3.l = 5,00

4.c + 5.l = 9,50

Vamos resolver o sistema formado utilizando o Método da Adição. O primeiro passo é escolher a incógnita que será eliminada. Neste caso, como todos os coeficientes possuem o mesmo sinal, não faz muita diferença. Escolhi eliminar a incógnita l. Para conseguir isso, vou multiplicar a 1ª equação por (-5) e a 2ª equação por 3. Desta forma, os coeficientes da incógnita l ficarão opostos. As equações ficarão assim, ó:

-10.c - 15l = -25,00

12.c + 15l = 28,50

Somando-se as duas equações, ficamos com:

2.c = 3,50, que é uma equação com apenas uma incógnita. Para descobrirmos o valor de c, basta dividir ambos os lados da igualdade por 2 (Princípio Multiplicativo das Igualdades). Assim, descobrimos que c = 1,75 (preço de cada caneta).

Falta, ainda, descobrir o valor da incógnita l. Para isso, voltaremos ao sistema inicial, escolheremos uma das equações e, na equação escolhida, substituiremos a incógnita c pelo seu valor (1,75). Optei pela 1ª equação...
2.c + 3.l = 5,00

2.1,75 + 3.l = 5,00

3,50 + 3l = 5,00 (equação com apenas uma incógnita...). Vamos utilizar, primeiro, o Princípio Aditivo das Igualdades, subtraindo 3,50 de ambos os lados da igualdade...

3,50 + 3l - 3,50 = 5,00 - 3,50

3l = 1,50 Para descobrir o preço de um lápis, vamos aplicar o Princípio Multiplicativo das Igualdades, dividindo os dois lados por 3...

l = 0,50 (preço de cada lápis)

A Victória comprou uma caneta e dois lápis. Vamos escrever uma equação para representar esta situação. Vamos usar a letra G para representar o quanto ela gastou: G = 1.c + 2.l . Para calcular o G (gasto), substituímos c por 1,75 e l por 0,50...

G = 1.c + 2.l

G = 1. 1,75 + 2. 0,50

G = 1,75 + 1,00

G = 2,75

Resposta: Victória gastou R$ 2,75.

Espero que ajude nos estudos... Estarei atento para os comentários e para as dúvidas... Bom trabalho! Beijão do Vavá...